1. 部分 III 同态和商群

本节的标题是“同态”。同态是抽象代数中的一个核心概念，特别是在群论中。它是一种特殊的映射（或函数），作用于两个代数结构（在这里是两个群）之间。这个映射的特殊之处在于它能够“保持”或“尊重”这两个群的运算结构。简单来说，如果你先在第一个群里进行运算，然后将结果通过这个映射送到第二个群，得到的结果，与你先将两个元素分别映射到第二个群里再进行运算，是完全一样的。这种保持结构的特性使得同态成为研究和比较不同群之间关系的强大工具。通过研究同态，我们可以了解一个群的结构信息如何传递到另一个群，或者通过一个已知的群来推断一个未知群的性质。本节将深入探讨同态的定义、性质以及它在群论中的重要应用。

1. 起点：我们有两个群，分别记为 $G$ 和 $G^{\prime}$。群不仅仅是元素的集合，它还包含一个二元运算，这个运算满足特定的规则（封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元）。我们称之为群结构。
2. 目标：我们希望找到一种方式来比较或关联这两个群。具体来说，我们想找一个从 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的函数（或称为映射），这个函数不仅仅是元素之间的对应，更重要的是它能“尊重”或“反映”两个群各自的群结构。这种映射就被称为结构相关映射。
3. 一个已知的例子：同构：我们已经学过一种最强的结构相关映射，叫做同构（isomorphism）。一个同构映射 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ 不仅保持运算结构，而且还是一个一一对应（即双射，bijection）。这意味着 $G$ 和 $G^{\prime}$ 中的元素可以一对一地完美配对，并且运算规则也完全一致。如果两个群是同构的，那么从代数结构的角度看，它们是完全相同的，只是元素的“名字”不同。就像用英语说“two plus three equals five”和用中文说“二加三等于五”，本质上描述的是同一个数学事实。知道 $G$ 的一切就等于知道了 $G^{\prime}$ 的一切。
4. 放宽条件：同构的要求非常严格。现在我们想更深入地研究群之间的关系，就需要一种更普遍、更灵活的工具。我们思考同构的定义包含哪些部分：
   • 保持运算结构（代数性质）：$\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$。
   • 一一对应（集合性质）：映射既是单射（injective，一个到最多一个）又是满射（surjective，覆盖全部）。
5. 核心思想：作者指出，一一对应是纯粹的集合论要求，它关注的是元素的数量和对应关系，而与群的二元运算这个代数核心无关。为了得到一个更广泛的概念，我们决定“牺牲”集合论上的严格要求，只保留那个与代数结构最相关的部分。
6. 新定义的诞生：我们保留同构定义中保持运算结构的那部分性质，即 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$，而不再强制要求映射必须是一一对应。这样得到的映射，就是我们即将定义的同态（homomorphism）。

1. 基本要素：定义涉及三个部分：
   • 一个群 $G$，它有自己的元素和二元运算。
   • 另一个群 $G^{\prime}$，它也有自己的元素和二元运算。
   • 一个映射（函数）$\phi$，它将 $G$ 中的每一个元素 $g$ 都对应到 $G^{\prime}$ 中的一个唯一元素 $\phi(g)$。
2. 核心条件：这个映射 $\phi$ 被称为同态，当且仅当它满足一个被称为“同态性质”的特定条件。
3. 同态性质详解：这个性质是公式 (1): $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$。我们来拆解这个公式：
   • 等号左边 $\phi(ab)$：
   • 首先，在群 $G$ 内部进行运算。取 $G$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$。
   • 用 $G$ 的二元运算将它们结合，得到新元素 $ab$。这个 $ab$ 仍然是 $G$ 的一个元素。
   • 然后，将这个运算结果 $ab$ 通过映射 $\phi$ 送到群 $G^{\prime}$ 中，得到元素 $\phi(ab)$。
   • 等号右边 $\phi(a)\phi(b)$：
   • 首先，不在 $G$ 中运算，而是先通过映射 $\phi$ 处理。
   • 将元素 $a$ 映射到 $G^{\prime}$ 中，得到元素 $\phi(a)$。
   • 将元素 $b$ 映射到 $G^{\prime}$ 中，得到元素 $\phi(b)$。
   • 现在，我们有了 $G^{\prime}$ 中的两个元素 $\phi(a)$ 和 $\phi(b)$。
   • 用 $G^{\prime}$ 的二元运算将它们结合，得到新元素 $\phi(a)\phi(b)$。
4. 等式的意义：同态性质要求，对于你在 $G$ 中选取的任何一对元素 $a$ 和 $b$，上述两种不同顺序的操作（“先在G中运算再映射”和“先映射再在G'中运算”）得到的结果必须是完全相同的。这精确地表达了映射 $\phi$ “保持”或“尊重”了群的运算结构。
5. 符号 $\square$：这个符号通常在数学定义或证明的末尾使用，表示“定义结束”或“证明完毕”。

这部分是一个脚注，解释了“同态”（homomorphism）这个词的词源。

1. Homomorphism：这个英文单词可以拆解为两部分。
2. Homo-：源自希腊语 homos，意思是“相同的”。在科学术语中很常见，例如 homogeneous（同质的）。
3. -morphism：源自希腊语 morphe，意思是“形式”、“形状”或“结构”。在数学中也常见，例如 isomorphism（同构，iso- 意为“相等”）、morphism（态射，范畴论中的基本概念）。
4. 合起来的意义：因此，homomorphism 的字面意思就是“保持相同形式/结构”。这与我们对同态的数学定义——保持群运算结构的映射——完美契合。了解词源有助于加深对概念本质的理解。

1. 重申同态性质的本质：本段开头再次强调了 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$ 的核心意义：它连接了两个不同世界（群 $G$ 和群 $G'$) 的运算。左边的运算 $ab$ 发生在“出发地” $G$，右边的运算 $\phi(a)\phi(b)$ 发生在“目的地” $G'$。同态是这两个运算之间的桥梁。
2. 平凡同态 (Trivial Homomorphism)：
   • 对于任意两个群 $G$ 和 $G'$，总能定义一个最简单的同态。
   • 这个同态将 $G$ 中的所有元素，无论它们是什么，都映射到 $G'$ 的单位元 $e'$。即 $\phi(g) = e'$ for all $g \in G$。
   • 为什么这是个同态？我们来验证：$\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$。
   • 左边：因为 $ab$ 也是 $G$ 中的一个元素，所以 $\phi(ab) = e'$。
   • 右边：$\phi(a) = e'$ 且 $\phi(b) = e'$。所以 $\phi(a)\phi(b) = e'e'$。在群 $G'$ 中，单位元乘以单位元还是单位元，所以 $e'e' = e'$。
   • 左边 $e'$ = 右边 $e'$，性质成立。
   • 这个同态被称为“平凡的”，因为它把 $G$ 的所有结构都“压扁”了，映射到了 $G'$ 中的一个点上。因此，通过这个映射，我们无法从 $G'$（只有一个元素 $e'$）反推出关于 $G$ 的任何有意义的结构信息。
3. 同态传递结构信息（从G到G'）：
   • 这里举了一个非常重要的例子，说明同态如何将一个群的性质“传递”给另一个群。
   • 前提：我们有一个满射同态 $\phi: G \rightarrow G'$（满射意味着 $G'$ 中的每个元素都是 $G$ 中某个元素的像）。并且我们知道 $G$ 是一个阿贝尔群（即 $G$ 中的运算满足交换律，$ab=ba$）。
   • 结论：我们可以推断出 $G'$ 也必须是阿贝尔群。
   • 证明过程：
4. 预告：
   • 本段最后提到，反过来，关于 $G'$ 的信息也能提供关于 $G$ 的信息（将在示例13.16中讨论）。
   • 接着，将开始给出更多具体的同态例子。

1. 背景设定：
   • 源群 $G$：$S_n$，即作用在 $n$ 个对象上的所有置换构成的群。其运算是置换的复合（composition），通常记为乘法。
   • 目标群 $G'$：$\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$，即模2的整数加法群。其运算是模2加法。
   • 置换的奇偶性：每个置换都可以写成若干个对换（只交换两个元素的置换）的乘积。虽然表示方法不唯一，但所需对换数量的奇偶性是确定的。需要奇数个对换的称为奇置换，需要偶数个的称为偶置换。
2. 映射的定义：
   • 定义了一个映射 $\phi: S_n \rightarrow \mathbb{Z}_2$。
   • 这个映射的作用是判断一个置换的“奇偶性”：
   • 如果置换 $\sigma$ 是偶置换，则 $\phi(\sigma) = 0$。
   • 如果置换 $\sigma$ 是奇置换，则 $\phi(\sigma) = 1$。
   • 这个映射在抽象代数中非常重要，有时被称为符号函数（sign function），记为 sgn。这里用0和1（加法群）代替了更常见的1和-1（乘法群），但本质相同。
3. 证明目标：
   • 要证明 $\phi$ 是一个同态，我们需要验证同态性质：$\phi(\sigma\mu) = \phi(\sigma) + \phi(\mu)$。
   • 特别注意：等号左边的 $\sigma\mu$ 是 $S_n$ 中的置换复合。等号右边的 $+$ 是 $\mathbb{Z}_2$ 中的模2加法。
4. 证明策略：分类讨论：
   • 由于 $\sigma$ 和 $\mu$ 各自只有两种可能性（奇置换或偶置换），组合起来总共只有 $2 \times 2 = 4$ 种情况。我们可以逐一验证。
5. 情况1：$\sigma$ 是奇置换，$\mu$ 是奇置换
   • 根据置换理论，我们知道：奇置换 $\circ$ 奇置换 = 偶置换。
   • (直观理解：一个用了奇数个对换，另一个也用了奇数个，合起来就是 奇数+奇数 = 偶数 个对换)。
   • 所以，$\sigma\mu$ 是一个偶置换。
   • 计算等号左边：根据 $\phi$ 的定义，$\phi(\sigma\mu) = 0$。
   • 计算等号右边：因为 $\sigma$ 是奇置换，所以 $\phi(\sigma) = 1$。因为 $\mu$ 是奇置换，所以 $\phi(\mu) = 1$。在 $\mathbb{Z}_2$ 中进行加法运算：$\phi(\sigma) + \phi(\mu) = 1 + 1 = 0$。
   • 比较：左边 = 0，右边 = 0。等式成立。
6. 其他三种情况（自行验证）：
   • 情况2：$\sigma$ 奇，$\mu$ 偶
   • 奇 $\circ$ 偶 = 奇。
   • 左边：$\phi(\sigma\mu) = 1$。
   • 右边：$\phi(\sigma) + \phi(\mu) = 1 + 0 = 1$。成立。
   • 情况3：$\sigma$ 偶，$\mu$ 奇
   • 偶 $\circ$ 奇 = 奇。
   • 左边：$\phi(\sigma\mu) = 1$。
   • 右边：$\phi(\sigma) + \phi(\mu) = 0 + 1 = 1$。成立。
   • 情况4：$\sigma$ 偶，$\mu$ 偶
   • 偶 $\circ$ 偶 = 偶。
   • 左边：$\phi(\sigma\mu) = 0$。
   • 右边：$\phi(\sigma) + \phi(\mu) = 0 + 0 = 0$。成立。
7. 结论：由于所有四种情况都满足同态性质，我们得出结论：$\phi$ 确实是一个同态。

1. 背景设定：
   • 源群 $G$：$F$，这是一个由所有函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$（定义域和值域都是实数）构成的集合。群的运算是函数的加法。
   • 函数加法如何定义？ 给出两个函数 $f$ 和 $g$，它们的和是一个新的函数，我们记为 $f+g$。这个新函数在任意点 $x$ 的取值被定义为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的和，即 $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$。在这个运算下，$F$ 构成一个群（单位元是零函数 $z(x)=0$，函数 $f$ 的逆元是 $-f$）。
   • 目标群 $G'$：$\mathbb{R}$，即实数集，其群运算是普通的加法。
   • 一个固定的点 $c$：我们从实数中任意挑选一个常数 $c$。这个 $c$ 将用来定义我们的映射。
2. 映射的定义：
   • 对于每一个选定的 $c$，我们定义一个映射 $\phi_c: F \rightarrow \mathbb{R}$。
   • 这个映射的作用是“求值”（Evaluation）。它接收一个函数 $f$ 作为输入，输出这个函数在点 $c$ 处的函数值 $f(c)$。所以，$\phi_c(f) = f(c)$。
3. 证明目标：
   • 证明 $\phi_c$ 是一个同态。我们需要验证同态性质：$\phi_c(f+g) = \phi_c(f) + \phi_c(g)$。
   • 这里的 $f+g$ 是 $F$ 中的函数加法，而 $\phi_c(f) + \phi_c(g)$ 是 $\mathbb{R}$ 中的实数加法。
4. 证明过程：
   • 我们从等号左边开始，利用各种定义进行推导：
   • $\phi_c(f+g)$
   • 根据 $\phi_c$ 的定义（求值映射），它等于函数 $(f+g)$ 在点 $c$ 处的值：$(f+g)(c)$。
   • 根据 $F$ 中函数加法的定义，$(f+g)(c)$ 等于 $f(c) + g(c)$。
   • 现在我们看 $f(c)$ 是什么。根据 $\phi_c$ 的定义，它就是 $\phi_c(f)$。
   • 同样，$g(c)$ 就是 $\phi_c(g)$。
   • 所以，$f(c) + g(c)$ 等于 $\phi_c(f) + \phi_c(g)$。
   • 串联起来：我们得到了一串等式：$\phi_c(f+g) = (f+g)(c) = f(c)+g(c) = \phi_c(f)+\phi_c(g)$。
   • 这正是我们要证明的同态性质。
5. 结论：因此，对于任意选定的实数 $c$，求值映射 $\phi_c$ 都是一个从函数加法群 $F$ 到实数加法群 $\mathbb{R}$ 的同态。

1. 背景设定:
   • 源群 $G$：$\mathbb{R}^n$，表示所有 $n$ 维实数列向量的集合。群运算是向量加法（逐分量相加）。例如，在 $\mathbb{R}^2$ 中，$\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix}$。
   • 目标群 $G'$：$\mathbb{R}^m$，表示所有 $m$ 维实数列向量的集合，群运算也是向量加法。
   • 一个固定的矩阵 $A$：我们有一个大小为 $m \times n$ 的实数矩阵 $A$。这个矩阵将用来定义我们的映射。
2. 映射的定义:
   • 我们定义一个映射 $\phi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$。
   • 这个映射的作用是左乘矩阵。它接收一个 $n$ 维列向量 $\mathbf{v}$ 作为输入，输出是矩阵 $A$ 与向量 $\mathbf{v}$ 的乘积 $A\mathbf{v}$。
   • 根据矩阵乘法规则，一个 $m \times n$ 的矩阵乘以一个 $n \times 1$ 的向量（即 $\mathbf{v}$），会得到一个 $m \times 1$ 的向量。这个结果正好是 $\mathbb{R}^m$ 中的一个元素。所以这个映射的定义是合理的。
3. 证明目标:
   • 证明 $\phi$ 是一个同态。我们需要验证同态性质：$\phi(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \phi(\mathbf{v}) + \phi(\mathbf{w})$。
   • 这里的 + 在两边都表示向量加法，但左边的 + 是在 $\mathbb{R}^n$ 中，右边的 + 是在 $\mathbb{R}^m$ 中。
4. 证明过程:
   • 我们从等号左边开始，利用定义和矩阵性质进行推导：
   • $\phi(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
   • 根据 $\phi$ 的定义（左乘矩阵 $A$），它等于 $A(\mathbf{v}+\mathbf{w})$。
   • 线性代数中一个基本的矩阵性质是矩阵乘法对向量加法的分配律，即 $A(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = A\mathbf{v} + A\mathbf{w}$。
   • 现在我们看 $A\mathbf{v}$ 是什么。根据 $\phi$ 的定义，它就是 $\phi(\mathbf{v})$。
   • 同样，$A\mathbf{w}$ 就是 $\phi(\mathbf{w})$。
   • 所以，$A\mathbf{v} + A\mathbf{w}$ 等于 $\phi(\mathbf{v}) + \phi(\mathbf{w})$。
   • 串联起来：我们得到了 $\phi(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = A(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = A\mathbf{v} + A\mathbf{w} = \phi(\mathbf{v}) + \phi(\mathbf{w})$。
   • 这正是我们要证明的同态性质。
5. 与线性代数的关系:
   • 作者特别指出，这种由矩阵乘法定义的映射，在线性代数中有一个专门的名字，叫做线性变换（Linear Transformation）。
   • 线性变换的定义通常包含两条性质：
6. $\phi(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \phi(\mathbf{v}) + \phi(\mathbf{w})$ (保持加法)
7. $\phi(c\mathbf{v}) = c\phi(\mathbf{v})$ (保持标量乘法)
   • 在群论的语境下，我们只关心第一条性质，即保持群的运算（向量加法）。因此，我们可以说，任何从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的线性变换，当只考虑它们的加法群结构时，都是一个群同态。这揭示了群论和线性代数这两个数学分支之间的深刻联系。

1. 背景设定:
   • 源群 $G$：$GL(n, \mathbb{R})$，即n阶实数一般线性群（General Linear Group）。
   • 元素：所有 $n \times n$ 的实数可逆矩阵。一个矩阵可逆，意味着它有一个逆矩阵，也等价于它的行列式不为零。
   • 群运算：矩阵乘法。两个 $n \times n$ 矩阵相乘，结果还是 $n \times n$ 矩阵。两个可逆矩阵的乘积也是可逆的，所以运算是封闭的。矩阵乘法满足结合律，单位元是 $n$ 阶单位矩阵 $I$，每个可逆矩阵根据定义都有逆矩阵。所以 $GL(n, \mathbb{R})$ 是一个群。
   • 目标群 $G'$：$\mathbb{R}^*$，即所有非零实数的集合。
   • 群运算：普通乘法。两个非零实数相乘，结果还是非零实数。运算满足结合律，单位元是 1，每个非零实数 $x$ 的逆元是 $1/x$。所以 $\mathbb{R}^*$ 也是一个群。
2. 映射的定义:
   • 我们考虑一个映射，它的作用是计算矩阵的行列式。我们称这个映射为 $\det$。
   • $\det: GL(n, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^*$。
   • 这个映射接收一个 $n \times n$ 的可逆矩阵 $A$ 作为输入，输出它的行列式 $\det(A)$。
   • 由于 $A$ 是可逆的，根据定义，它的行列式 $\det(A)$ 必然是非零的。所以输出结果确实在目标群 $\mathbb{R}^*$ 中。
3. 证明 (或在此处是“识别”) 目标:
   • 证明/识别 $\det$ 映射是一个同态。我们需要验证同态性质：$\det(AB) = \det(A) \det(B)$。
   • 左边的 $AB$ 是 $GL(n, \mathbb{R})$ 中的矩阵乘法。
   • 右边的 $\det(A) \det(B)$ 是 $\mathbb{R}^*$ 中的实数乘法。
4. 证明过程:
   • 作者在这里没有进行证明，而是直接“回想”（recall）了线性代数中的一个基本而深刻的定理：矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。
   • 这个定理本身就是同态性质的完美体现！
   • $\det(AB)$ 是“先在源群 $G$ 中做运算（矩阵乘法），然后映射（取行列式）”。
   • $\det(A) \det(B)$ 是“先分别映射（取行列式），然后在目标群 $G'$ 中做运算（实数乘法）”。
   • 既然线性代数已经证明了 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 对所有 $n \times n$ 矩阵都成立，那么它自然也对所有可逆矩阵成立。
5. 结论:
   • 因此，行列式函数 $\det$ 是一个从一般线性群 $GL(n, \mathbb{R})$ 到非零实数乘法群 $\mathbb{R}^*$ 的群同态。

这部分连续给出了三个不同类型的同态示例。

示例 13.7: 从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的同态

1. 背景: 源群和目标群都是整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$。这种从一个群到其自身的同态被称为自同态 (endomorphism)。
2. 映射: 对于任意一个固定的整数 $r$，定义映射 $\phi_r(n) = rn$ (整数乘法)。
3. 证明:
   • 目标是验证 $\phi_r(m+n) = \phi_r(m) + \phi_r(n)$。
   • 左边: $\phi_r(m+n) = r(m+n)$。
   • 根据整数乘法对加法的分配律， $r(m+n) = rm + rn$。
   • 而 $rm = \phi_r(m)$，$rn = \phi_r(n)$。
   • 所以，$\phi_r(m+n) = \phi_r(m) + \phi_r(n)$。性质成立。
4. 特殊情况分析:
   • $r=0$: $\phi_0(n) = 0 \cdot n = 0$。这把所有整数都映射到0（$\mathbb{Z}$的单位元），所以是平凡同态。
   • $r=1$: $\phi_1(n) = 1 \cdot n = n$。这是恒等映射，每个元素都映射到自身。恒等映射显然是一个同构。
   • $r=-1$: $\phi_{-1}(n) = -n$。这个映射将每个整数映射到其加法逆元。它是一个满射（因为每个整数 $k$ 都是 $-k$ 的像），也是一个单射（如果 $-n_1 = -n_2$，则 $n_1=n_2$），所以 $\phi_{-1}$ 也是一个同构（称为一个自同构 automorphism）。
   • 其他 $r$ 值 (如 $r=2, -3$ 等): 比如 $\phi_2(n) = 2n$，它的像只包含所有偶数。因此，这个映射不是满射。

第二个例子: 直积的投影映射

1. 背景: 源群 $G$ 是 $n$ 个群 $G_1, G_2, ..., G_n$ 的直积。
   • $G$ 的元素是元组 $(g_1, g_2, ..., g_n)$，其中 $g_i \in G_i$。
   • $G$ 的运算是逐分量运算：$(a_1, ..., a_n)(b_1, ..., b_n) = (a_1b_1, ..., a_nb_n)$。
2. 映射: 对于任意一个 $i$ (从1到n)，定义投影映射 $\pi_i$。
   • $\pi_i: G \rightarrow G_i$。
   • 作用是提取元组中的第 $i$ 个分量：$\pi_i(g_1, ..., g_n) = g_i$。
3. 证明:
   • 目标是验证 $\pi_i(\mathbf{a}\mathbf{b}) = \pi_i(\mathbf{a})\pi_i(\mathbf{b})$，其中 $\mathbf{a}=(a_1,...,a_n)$ 和 $\mathbf{b}=(b_1,...,b_n)$ 是 $G$ 中的元素。
   • 左边:
4. 先在 $G$ 中运算：$\mathbf{ab} = (a_1b_1, a_2b_2, ..., a_nb_n)$。
5. 应用映射 $\pi_i$：$\pi_i(\mathbf{ab}) = \pi_i(a_1b_1, ..., a_nb_n)$，根据定义，这等于第 $i$ 个分量，即 $a_ib_i$。
   • 右边:
6. 先应用映射：$\pi_i(\mathbf{a}) = a_i$，$ \pi_i(\mathbf{b}) = b_i$。
7. 在目标群 $G_i$ 中运算：结果是 $a_ib_i$。
   • 左边 = 右边，所以 $\pi_i$ 是同态。
   • 这个证明非常直接，因为它本质上就是直积运算的定义方式。

第三个例子: 定积分映射

1. 背景:
   • 源群 $F$：定义在闭区间 $[0,1]$ 上的所有连续函数构成的加法群。运算是函数加法。
   • 目标群 $\mathbb{R}$：实数加法群。
2. 映射: 定义映射 $\sigma: F \rightarrow \mathbb{R}$。
   • 作用是计算函数在 $[0,1]$ 上的定积分：$\sigma(f) = \int_0^1 f(x) dx$。
3. 证明:
   • 目标是验证 $\sigma(f+g) = \sigma(f) + \sigma(g)$。
   • 证明过程利用了微积分的基本性质：和的积分等于积分的和。
   • $\sigma(f+g) = \int_0^1 (f+g)(x) dx$ (根据 $\sigma$ 定义)
   • 性质成立，所以 $\sigma$ 是一个同态。

1. 背景设定:
   • 源群 $G$: 整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$。
   • 目标群 $G'$: 模 $n$ 整数加法群 $(\mathbb{Z}_n, +_n)$。
   • 这个映射被称为自然映射 (Natural Map) 或约化映射 (Reduction Map)。
2. 映射的定义:
   • 映射 $\gamma: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$。
   • 作用是取一个整数 $m$，然后找到它除以 $n$ 时的余数 $r$。$\gamma(m) = r$。
   • 根据除法算法，对于任何整数 $m$ 和正整数 $n$，都唯一存在整数 $q$ (商) 和 $r$ (余数) 使得 $m = qn + r$，并且 $0 \le r < n$。这个唯一的 $r$ 就是 $\gamma(m)$ 的值。
3. 证明目标:
   • 证明 $\gamma$ 是一个同态。我们需要验证 $\gamma(s+t) = \gamma(s) + \gamma(t)$。
   • 左边的 + 是整数加法。右边的 + 是 $\mathbb{Z}_n$ 中的模 $n$ 加法。
4. 证明策略:
   • 使用除法算法来表示任意两个整数 $s$ 和 $t$。
   • 分别计算等式的左边和右边，然后证明它们相等。
5. 证明过程:
   • 表示 $s$ 和 $t$:
   • 根据除法算法，设 $s = q_1n + r_1$，其中 $0 \le r_1 < n$。
   • 根据除法算法，设 $t = q_2n + r_2$，其中 $0 \le r_2 < n$。
   • 计算右边:
   • 根据 $\gamma$ 的定义，$\gamma(s) = r_1$ 且 $\gamma(t) = r_2$。
   • 在 $\mathbb{Z}_n$ 中计算它们的和：$\gamma(s) + \gamma(t) = r_1 +_n r_2$。这个结果是 $(r_1+r_2)$ 再对 $n$ 取余数。
   • 为了得到这个余数，我们再次对 $r_1+r_2$ 使用除法算法：设 $r_1+r_2 = q_3n + r_3$，其中 $0 \le r_3 < n$。
   • 那么，根据 $\mathbb{Z}_n$ 的加法定义，$r_1 +_n r_2 = r_3$。所以，等式的右边等于 $r_3$。
   • 计算左边:
   • 先在 $\mathbb{Z}$ 中计算 $s+t$：
   • 我们不能直接说 $s+t$ 的余数是 $r_1+r_2$，因为 $r_1+r_2$ 可能大于或等于 $n$。
   • 我们将上面得到的 $r_1+r_2 = q_3n + r_3$ 代入：
   • 现在这个式子是标准的除法算法形式：$s+t = (\text{商})n + (\text{余数})$，其中商是 $(q_1+q_2+q_3)$，余数是 $r_3$，并且满足 $0 \le r_3 < n$。
   • 所以，根据 $\gamma$ 的定义，$\gamma(s+t) = r_3$。等式的左边也等于 $r_3$。
   • 比较: 左边 = $r_3$，右边 = $r_3$。等式成立。
6. 结论:
   • 因此，从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}_n$ 的取余映射是一个同态。

1. 回顾多对一映射 (Many-to-one mapping):
   • 作者指出，刚刚讨论的几个例子（投影、积分、模n约化）都不是单射（one-to-one）。
   • 多对一意味着源群（定义域）中存在多个不同的元素，它们被映射到了目标群（到达域）中的同一个元素。
   • 这正是同态与同构的一个关键区别。同构必须是一对一的。
2. 具体例子:
   • 引用了示例13.8（尽管在前面的文本中是作为第二个例子出现的，编号可能有些出入），即投影映射。
   • 源群: $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$。其元素是形如 $(a,b)$ 的有序对，其中 $a \in \{0,1\}, b \in \{0,1,2,3\}$。总共有 $2 \times 4 = 8$ 个元素。
   • 目标群: $G' = \mathbb{Z}_2$。
   • 映射: $\pi_1: G \rightarrow G'$，定义为 $\pi_1(a,b) = a$ (取第一个分量)。
   • 多对一的体现:
   • $\pi_1(0,0) = 0$
   • $\pi_1(0,1) = 0$
   • $\pi_1(0,2) = 0$
   • $\pi_1(0,3) = 0$
   • 这里，源群中的四个不同元素 $(0,0), (0,1), (0,2), (0,3)$ 都被映射到了目标群中的同一个元素 0。这就是“多对一”的清晰展示。
3. 同态的复合:
   • 提出了一个重要的性质：同态的复合也是同态。
   • 前提:
   • 我们有一个同态 $\phi: G \rightarrow G'$。
   • 我们有另一个同态 $\gamma: G' \rightarrow G''$。
   • 复合映射的定义:
   • 可以定义一个新的映射，记为 $\gamma \circ \phi$ (读作 "gamma a-o phi")。
   • 这个映射从 $G$ 直接到 $G''$。
   • 其作用是“先做 $\phi$，再做 $\gamma$”。即 $(\gamma \circ \phi)(g) = \gamma(\phi(g))$。
   • 结论: 这个新的复合映射 $(\gamma \circ \phi)$ 也一定是一个同态。
   • 证明的思路 (练习49):
   • 我们需要证明 $(\gamma \circ \phi)(ab) = (\gamma \circ \phi)(a) (\gamma \circ \phi)(b)$。
   • 左边:
   • 右边:
   • 左边=右边，证明完毕。

1. 引言:
   • 本节的目标是研究同态 $\phi: G \rightarrow G'$ 能够“保持”哪些结构特征。我们已经知道它保持了基本的二元运算，现在要看它对更复杂的结构（如单位元、逆元、子群）有什么影响。
2. 符号约定:
   • 作者提醒了一个符号上的细节：当映射作用于一个子集时，使用方括号 []，而不是作用于单个元素时用的小括号 ()。
   • 例如，$\phi(a)$ 表示元素 $a$ 的像，而 $\phi[A]$ 表示集合 $A$ 的像。这有助于区分输入是元素还是集合。
3. 集合论定义回顾:
   • 像 (Image):
   • 给定一个从集合 $X$ 到集合 $Y$ 的映射 $\phi$，以及 $X$ 的一个子集 $A$。
   • 子集 $A$ 在 $\phi$ 下的像，记为 $\phi[A]$，是 $Y$ 中的一个子集。
   • 这个子集由 $A$ 中所有元素的像构成。即 $\phi[A] = \{\phi(a) \mid \text{对于所有 } a \in A\}$。
   • 值域 (Range): 当 $A$ 是整个定义域 $X$ 时，$\phi[X]$ 就是 $\phi$ 的值域。它包含了 $\phi$ 可能输出的所有值。
   • 逆像 (Inverse Image / Preimage):
   • 给定 $Y$ 的一个子集 $B$。
   • 子集 $B$ 在 $\phi$ 下的逆像，记为 $\phi^{-1}[B]$，是 $X$ 中的一个子集。
   • 这个子集由所有被 $\phi$ 映射到 $B$ 中的元素构成。即 $\phi^{-1}[B] = \{x \in X \mid \phi(x) \in B\}$。
   • 重要提示: 符号 $\phi^{-1}$ 在这里并不意味着 $\phi$ 必须有逆函数。$\phi^{-1}[B]$ 是对一个集合的操作，总是可以定义的，即使 $\phi$ 不是一对一的。它问的是：“哪些人（$X$中的元素）的票根是 B 区的？”

这个定理是关于同态基本性质的核心结果。它说明了同态是如何保持群的基本结构元素的。

定理陈述逐条解析:

1. 保持单位元: 同态将源群的单位元 $e$ 映射到目标群的单位元 $e'$。$\phi(e) = e'$。
2. 保持逆元: 同态将一个元素的逆元映射为该元素像的逆元。即 $\phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1}$。换句话说，“求逆”和“映射”这两个操作可以交换顺序。
3. 像的子群性: 如果你取源群 $G$ 的一个子群 $H$，那么它在目标群 $G'$ 中的像 $\phi[H]$ 也构成一个子群。同态保持了“子群”这个属性。
4. 逆像的子群性: 如果你取目标群 $G'$ 的一个子群 $K'$，那么它在源群 $G$ 中的逆像 $\phi^{-1}[K']$ 也构成一个子群。

定理证明逐条解析:

证明1: $\phi(e) = e'$

• 思路: 利用 $e$ 作为单位元的性质 $a=ae$ 和同态性质。
• 步骤:

1. 取 $G$ 中任意一个元素 $a$。我们知道 $a = ae$。
2. 对这个等式两边应用 $\phi$：$\phi(a) = \phi(ae)$。
3. 因为 $\phi$ 是同态，所以 $\phi(ae) = \phi(a)\phi(e)$。
4. 结合起来得到 $\phi(a) = \phi(a)\phi(e)$。这个等式发生在 $G'$ 中。
5. 在 $G'$ 中，$\phi(a)$ 是一个元素，它有逆元 $(\phi(a))^{-1}$。将等式两边同时从左侧乘以 $(\phi(a))^{-1}$：

$(\phi(a))^{-1}\phi(a) = (\phi(a))^{-1}(\phi(a)\phi(e))$。

1. 左边等于 $G'$ 的单位元 $e'$。右边根据结合律等于 $((\phi(a))^{-1}\phi(a))\phi(e) = e'\phi(e) = \phi(e)$。
2. 因此，我们得到 $e' = \phi(e)$。证明完毕。

证明2: $\phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1}$

• 思路: 利用 $e = aa^{-1}$ 的性质和刚刚证明的性质1。
• 步骤:

1. 我们知道 $e = aa^{-1}$。
2. 对等式两边应用 $\phi$：$\phi(e) = \phi(aa^{-1})$。
3. 根据性质1，$\phi(e)=e'$。根据同态性质，$\phi(aa^{-1}) = \phi(a)\phi(a^{-1})$。
4. 所以得到 $e' = \phi(a)\phi(a^{-1})$。
5. 这个等式在 $G'$ 中。它表明 $\phi(a^{-1})$ 这个元素正是 $\phi(a)$ 的逆元。根据逆元的唯一定义，我们得出 $\phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1}$。证明完毕。

证明3: 若 $H \le G$, 则 $\phi[H] \le G'$ (注: $\le$ 表示“是...的子群”)

• 思路: 要证明 $\phi[H]$ 是 $G'$ 的子群，需要验证子群三条件：非空、运算封闭、逆元封闭。
• 步骤:

1. 非空: 因为 $H$ 是子群，所以 $e \in H$。那么 $\phi(e) \in \phi[H]$。根据性质1，$\phi(e)=e'$，所以 $e' \in \phi[H]$。因此 $\phi[H]$ 非空。
2. 运算封闭: 取 $\phi[H]$ 中任意两个元素，它们可以写成 $\phi(a)$ 和 $\phi(b)$ 的形式，其中 $a,b \in H$。它们的乘积是 $\phi(a)\phi(b)$。因为 $\phi$ 是同态，所以 $\phi(a)\phi(b) = \phi(ab)$。因为 $H$ 是子群，所以 $ab \in H$。因此，$\phi(ab)$ 也在 $\phi[H]$ 中。所以 $\phi[H]$ 对运算封闭。
3. 逆元封闭: 取 $\phi[H]$ 中任意一个元素 $\phi(a)$，其中 $a \in H$。我们需要证明它的逆元也在 $\phi[H]$ 中。$\phi(a)$ 的逆元是 $(\phi(a))^{-1}$。根据性质2，$(\phi(a))^{-1} = \phi(a^{-1})$。因为 $H$ 是子群且 $a \in H$，所以 $a^{-1} \in H$。因此，$\phi(a^{-1})$ 也在 $\phi[H]$ 中。所以 $\phi[H]$ 对逆元封闭。
   • (作者在正文中简化了证明，他将非空和逆元封闭合并为“$e'=\phi(e)$ 和 $\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}$ 的事实完成了证明”，因为这两点已经在本定理中被证明了。)

证明4: 若 $K' \le G'$, 则 $\phi^{-1}[K'] \le G$

• 思路: 同样验证子群三条件。
• 步骤:

1. 非空: 因为 $K'$ 是子群，所以 $e' \in K'$。根据性质1，我们知道 $\phi(e) = e'$。这意味着 $e$ 的像在 $K'$ 中。根据逆像的定义，$e$ 属于 $\phi^{-1}[K']$。所以 $\phi^{-1}[K']$ 非空。
2. 运算封闭: 取 $\phi^{-1}[K']$ 中任意两个元素 $a$ 和 $b$。根据定义，这意味着 $\phi(a) \in K'$ 且 $\phi(b) \in K'$。我们需要证明 $ab$ 也在 $\phi^{-1}[K']$ 中，即证明 $\phi(ab) \in K'$。
   • 我们知道 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$。
   • 因为 $K'$ 是子群，且 $\phi(a), \phi(b)$ 都在 $K'$ 中，所以它们的乘积 $\phi(a)\phi(b)$ 也必然在 $K'$ 中。
   • 所以 $\phi(ab) \in K'$，因此 $ab \in \phi^{-1}[K']$。封闭性得证。
3. 逆元封闭: 取 $\phi^{-1}[K']$ 中任意一个元素 $a$。这意味着 $\phi(a) \in K'$。我们需要证明 $a^{-1}$ 也在 $\phi^{-1}[K']$ 中，即证明 $\phi(a^{-1}) \in K'$。
   • 我们知道 $\phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1}$ (根据性质2)。
   • 因为 $K'$ 是子群且 $\phi(a) \in K'$，所以它的逆元 $(\phi(a))^{-1}$ 也必然在 $K'$ 中。
   • 所以 $\phi(a^{-1}) \in K'$，因此 $a^{-1} \in \phi^{-1}[K']$。逆元封闭性得证。

1. 引出核 (Kernel) 的概念:
   • 我们从目标群 $G'$ 中选取一个最简单、但也是最重要的子群：只包含单位元 $e'$ 的子群，即平凡子群 $\{e'\}$。
   • 根据刚刚证明的定理13.12的性质4，一个子群的逆像也是一个子群。
   • 所以，$\{e'\}$ 这个子群在 $\phi$ 下的逆像 $\phi^{-1}[\{e'\}]$ 也必须是源群 $G$ 的一个子群。
   • 这个特殊的子群被认为是研究同态的关键，因此值得拥有一个专门的名字。
2. 核的定义:
   • 定义: 对于一个群同态 $\phi: G \rightarrow G'$，它的核 (Kernel) 是 $G$ 的一个子集，由所有被 $\phi$ 映射到 $G'$ 中单位元 $e'$ 的元素组成。
   • 符号: 记作 $\operatorname{Ker}(\phi)$。
   • 集合表示: $\operatorname{Ker}(\phi) = \{x \in G \mid \phi(x) = e'\}$。
   • 这个定义直接源自于“$\{e'\}$的逆像”这个概念：$\operatorname{Ker}(\phi) = \phi^{-1}[\{e'\}]$。
   • 根据引言部分的逻辑，我们已经知道 $\operatorname{Ker}(\phi)$ 不仅仅是一个集合，它必定是 $G$ 的一个子群。
3. 核的重要性:
   • 核衡量了一个同态“压缩”信息的程度。
   • 如果 $\operatorname{Ker}(\phi)$ 只包含 $G$ 的单位元 $e$，那么没有其他元素被“压扁”到 $e'$。我们将在后面看到，这意味着这个同态是单射（一对一）的。
   • 如果 $\operatorname{Ker}(\phi)$ 包含很多元素，这意味着有大量的信息在映射过程中丢失了，因为这些不同的元素在目标群中变得无法区分（它们都变成了 $e'$）。
   • 核的大小和结构，揭示了同态的本质特征。

1. 回顾线性变换的核:
   • 本段首先将新定义的核概念与线性代数中的一个熟悉概念联系起来。
   • 在示例13.5中，我们有同态 $\phi(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$，其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵。
   • 该同态的核是 $\operatorname{Ker}(\phi) = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \mid \phi(\mathbf{v}) = \mathbf{e'}\}$。
   • 在目标群 $\mathbb{R}^m$ 中，单位元 $\mathbf{e'}$ 是零向量 $\mathbf{0}$。
   • 所以，$\operatorname{Ker}(\phi) = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{v} = \mathbf{0}\}$。
   • 在线性代数中，所有满足齐次线性方程组 $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 的解向量 $\mathbf{v}$ 构成的集合，正好被称为矩阵 $A$ 的零空间 (Null Space)。
   • 因此，对于线性变换，群论中的核与线性代数中的零空间是完全相同的概念。这再次加深了两个领域间的联系。
2. 核的坍缩作用:
   • 设 $H = \operatorname{Ker}(\phi)$。根据定义，$\phi$ 将 $H$ 中的所有元素都映射到 $e'$。作者用了一个生动的词：“坍缩”(collapses)。同态 $\phi$ 把整个子群 $H$ 压扁成了一个点 $e'$。
3. 对陪集的坍缩作用 (预告):
   • 接下来是一个关键的预告：同态不仅坍缩了核 $H$ 本身，它还以一种非常规整的方式坍缩了 $H$ 的所有陪集。
   • 对于 $G$ 中任意一个元素 $g$，它所在的左陪集 $gH$ (集合 $\{gh \mid h \in H\}$) 和右陪集 $Hg$ (集合 $\{hg \mid h \in H\}$) 将被证明是相同的。
   • 更重要的是，整个陪集 $gH$ 会被 $\phi$ “整体地”坍缩到 $G'$ 中的单个元素 $\phi(g)$ 上。
   • 换句话说，对于陪集 $gH$ 中的任何一个元素 $x$，$\phi(x)$ 的值都是一样的，都等于 $\phi(g)$。
   • 用逆像的语言来表述就是：$\phi^{-1}[\{\phi(g)\}] = gH = Hg$。这精确地表达了“所有被映射到 $\phi(g)$ 的元素的集合，正好就是 $g$ 所在的陪集”。
4. 符号解释:
   • 作者特意提醒读者理解 $\phi^{-1}[\{\phi(g)\}]$ 的多层括号：
   • (): $\phi(g)$ 表示 $g$ 的像，是一个元素。
   • {}: $\{\phi(g)\}$ 表示只包含 $\phi(g)$ 这一个元素的集合。
   • []: $\phi^{-1}[...]$ 表示对一个集合取逆像。
5. 图示解释 (图13.14):
   • 阴影矩形: 代表整个源群 $G$。
   • 底部水平线: 代表目标群 $G'$。
   • 向下箭头 $\phi$: 表示从 $G$ 到 $G'$ 的投影映射。
   • 垂直线段: $G$ 被划分成了若干个互不相交的部分，每一部分都是核 $H$ 的一个陪集。这些垂直线段就是对陪集的形象化表示。
   • 位于 $e'$ 正上方的垂直线段就是核 $H$ 本身。
   • 图示的核心思想是：$\phi$ 这个投影把每一根垂直线段（一个陪集）都压缩并投影到了它正下方的那个点（$G'$中的一个元素）上。

这张图是理解同态、核与陪集关系的关键视觉辅助。

1. G (源群): 由大的阴影矩形表示。这代表了整个源群 $G$ 的元素空间。
2. G' (目标群): 由底部的水平线段表示。这代表了目标群 $G'$ 的元素空间。
3. $\phi$ (同态映射):
   • 由从 $G$ 指向 $G'$ 的大箭头表示。
   • 它的作用可以想象成一种“投影”或“坍缩”，将上方矩形中的点垂直向下投射到底部的水平线上。
4. $H = \operatorname{Ker}(\phi)$ (核):
   • 在 $G'$ 中，有一个特殊的点 $e'$，即单位元。
   • 在 $G$ 中，所有被 $\phi$ 映射到 $e'$ 的点构成一个集合，这就是核 $H$。
   • 在图上，这由位于 $e'$ 正上方的第一根实心垂直线段表示。这整条线段上的所有点，在投影后都汇集到了 $e'$ 这一个点上。
5. 陪集 (Cosets):
   • 图中的其他垂直线段（如 $aH$, $bH$ 等）代表了 $H$ 的其他陪集。
   • 整个群 $G$ 被这些互不相交的陪集完全“切分”或“划分”了。每个 $G$ 中的元素都恰好属于其中一个陪集（一根垂直线段）。
6. 坍缩过程:
   • 观察陪集 $aH$（标记出来的第二根线段）。线段上的所有点代表了集合 $\{ah \mid h \in H\}$。
   • 当 $\phi$ 这个投影作用时，整根线段 $aH$ 被坍缩到了它正下方的单个点 $\phi(a)$ 上。
   • 同样，陪集 $bH$ 被整体坍缩到了点 $\phi(b)$ 上。
   • 这个图像生动地展示了即将到来的定理13.15的核心思想：同态将群 $G$ 按照其核 $H$ 的陪集进行划分，并将每个陪集整体地映射到目标群 $G'$ 的一个单一元素上。

这个定理是对图13.14所描绘的直观图像的严格数学证明。

定理陈述解析:

1. 前提: 有一个群同态 $\phi: G \rightarrow G'$，它的核是 $H = \operatorname{Ker}(\phi)$。我们任选一个元素 $a \in G$。
2. 核心结论: 集合 $\{x \in G \mid \phi(x)=\phi(a)\}$ (即所有与 $a$ 有相同像的元素的集合) 正好就是 $a$ 所在的左陪集 $aH$，也正好是 $a$ 所在的右陪集 $Ha$。
3. 推论: 因为对于任意的 $a \in G$，都有 $aH = \{x \in G \mid \phi(x)=\phi(a)\} = Ha$，所以 $H$ 的任意一个左陪集都等于对应的右陪集。这意味着 $H$ 的左陪集划分和右陪集划分是完全相同的。这个性质非常重要，满足这个性质的子群被称为正规子群。

证明解析:

证明的核心是“证明两个集合相等”，这通常通过证明双向包含（A $\subseteq$ B and B $\subseteq$ A）来完成。这里只证明 $\{x \in G \mid \phi(x)=\phi(a)\} = aH$。

第一部分：证明 $\{x \in G \mid \phi(x)=\phi(a)\} \subseteq aH$

• 目标: 证明如果一个元素 $x$ 的像和 $a$ 的像相同，那么 $x$ 一定在 $a$ 的左陪集里。
• 步骤:

1. 假设: 从集合 $\{x \in G \mid \phi(x)=\phi(a)\}$ 中任取一个元素 $x$。这意味着我们已知 $\phi(x) = \phi(a)$。
2. 操作: 在 $G'$ 中，将等式 $\phi(x)=\phi(a)$ 的两边同时左乘 $\phi(a)$ 的逆元，即 $\phi(a)^{-1}$。得到 $\phi(a)^{-1}\phi(x) = e'$。
3. 利用同态性质: 根据定理13.12，我们知道 $\phi(a)^{-1} = \phi(a^{-1})$。代入得 $\phi(a^{-1})\phi(x) = e'$。
4. 再次利用同态性质: 因为 $\phi$ 是同态，所以 $\phi(a^{-1})\phi(x) = \phi(a^{-1}x)$。
5. 连接: 于是我们得到 $\phi(a^{-1}x) = e'$。
6. 利用核的定义: 这个等式意味着元素 $a^{-1}x$ 被 $\phi$ 映射到了单位元 $e'$。根据核的定义，这说明 $a^{-1}x$ 必须是核 $H$ 的一个成员。
7. 推导: 所以，存在某个 $h \in H$ 使得 $a^{-1}x = h$。
8. 变形: 将 $a^{-1}x = h$ 两边左乘 $a$，得到 $x = ah$。
9. 结论: 根据左陪集的定义，如果 $x=ah$ 其中 $h \in H$，那么 $x \in aH$。这就证明了任意一个满足 $\phi(x)=\phi(a)$ 的 $x$ 都在 $aH$ 中。包含关系得证。

第二部分：证明 $aH \subseteq \{x \in G \mid \phi(x)=\phi(a)\}$

• 目标: 证明在 $a$ 的左陪集中的任意一个元素，它的像都和 $a$ 的像相同。
• 步骤:

1. 假设: 从左陪集 $aH$ 中任取一个元素 $y$。根据定义，这意味着 $y$ 可以被写成 $y=ah$ 的形式，其中 $h$ 是 $H$ (即 $\operatorname{Ker}(\phi)$) 中的某个元素。
2. 操作: 计算 $y$ 的像 $\phi(y)$。
3. 利用同态性质: $\phi(y) = \phi(ah) = \phi(a)\phi(h)$。
4. 利用核的定义: 因为 $h \in H = \operatorname{Ker}(\phi)$，所以根据定义，$\phi(h) = e'$。
5. 计算: 代入得到 $\phi(y) = \phi(a)e'$。
6. 结论: 在 $G'$ 中，任何元素乘以单位元都等于其自身，所以 $\phi(a)e' = \phi(a)$。因此 $\phi(y) = \phi(a)$。
7. 连接: 这表明 $y$ 属于集合 $\{x \in G \mid \phi(x)=\phi(a)\}$。这就证明了 $aH$ 中的任意元素都在这个集合里。包含关系得证。

最后:

• 因为双向包含都成立，所以两个集合相等。
• 证明 $Ha$ 的部分是类似的，留作练习。这个证明会涉及到右乘逆元。

这个例子将同态理论应用于我们熟悉的复数系统。

1. 背景设定:
   • 源群 $G$: $\mathbb{C}^*$，所有非零复数在复数乘法下构成的群。
   • 目标群 $G'$: $\mathbb{R}^+$，所有正实数在实数乘法下构成的群。（有时也用 $\mathbb{R}^{>0}$ 表示）。
   • 映射: 绝对值函数（或称模函数）$\phi(z) = |z|$。
2. 验证同态:
   • 作者直接引用了复数的一个基本性质：$\left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$。
   • 这个性质的陈述形式，与同态性质 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$ 完全一样。
   • 因此，取模运算是一个从 $(\mathbb{C}^*, \times)$ 到 $(\mathbb{R}^+, \times)$ 的群同态。
3. 应用定理13.12——寻找子群:
   • 寻找核:
   • 目标群 $\mathbb{R}^+$ 的单位元是 1。
   • 考虑 $G'$ 的平凡子群 $\{1\}$。
   • 根据定理13.12的性质4，$\{1\}$ 的逆像 $\phi^{-1}[\{1\}]$ 必须是 $G$ 的一个子群。
   • $\operatorname{Ker}(\phi) = \phi^{-1}[\{1\}] = \{z \in \mathbb{C}^* \mid |z|=1\}$。
   • 这个集合由所有模为1的非零复数构成。在复平面上，这些点构成了以原点为圆心、半径为1的单位圆。
   • 这个子群通常被称为圆群 (Circle Group)，记为 $U$ 或 $T$。
   • 所以，通过同态理论，我们“重新发现”了单位圆上的复数在乘法下构成一个子群。
4. 理解陪集和坍缩:
   • 核: 核 $H = U$ 是单位圆。
   • 陪集: 根据定理13.15，陪集 $z_0 H$ (这里用乘法群，所以是 $z_0 U$) 是所有与 $z_0$ 有相同像（模）的复数。
   • $\phi(z_0) = |z_0|$。我们设 $|z_0| = r$ (一个正实数)。
   • 陪集 $z_0 U$ 就是 $\{z \in \mathbb{C}^* \mid |z|=r\}$。
   • 在复平面上，所有到原点距离为 $r$ 的点的集合，正好是一个以原点为圆心、半径为 $r$ 的圆。
   • 所以，$U$ 的陪集就是复平面上所有以原点为圆心的同心圆（不包括原点）。
   • 坍缩: 这个同态 $|z|$ 的作用是什么？
   • 它取复平面上的任意一个点 $z$。
   • 计算它到原点的距离 $|z|$。
   • 这个距离是一个正实数，可以看作是正实轴上的一个点。
   • 因此，整个以原点为圆心、半径为 $r$ 的圆（一个陪集），都被这个映射“坍缩”到了正实轴上的单个点 $r$ 上。
   • 作者说“坍缩到它与正实轴的交点”，这是一种形象的说法，因为半径为 $r$ 的圆与正实轴的交点就是复数 $(r, 0)$，即实数 $r$。

这个例子将同态理论与微积分中的不定积分联系起来。

1. 背景设定:
   • 源群 $G$: $D$，所有从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的可微函数构成的加法群。
   • 目标群 $G'$: $F$，所有从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数构成的加法群。
   • 映射: $\phi(f) = f'$，即微分操作。
2. 验证同态:
   • 作者指出，微分是一个同态。
   • 证明依据是微积分的基本性质：和的导数等于导数的和。
   • $\phi(f+g) = (f+g)' = f' + g' = \phi(f) + \phi(g)$。
   • 这个性质保证了微分操作保持了函数加法的群结构。
3. 计算核 (Kernel):
   • $\operatorname{Ker}(\phi)$ 是所有被映射到目标群单位元的元素的集合。
   • 目标群 $F$ 的单位元是零函数，即 $z(x)=0$ 对于所有 $x$。
   • 所以，$\operatorname{Ker}(\phi) = \{f \in D \mid \phi(f) = 0\} = \{f \in D \mid f' = 0\}$。
   • 哪些函数的导数是零函数？答案是所有常数函数。
   • 因此，微分同态的核是所有常数函数构成的子群，记为 $C$。
4. 应用定理13.15:
   • 定理13.15说，所有被映射到同一个像的元素的集合，构成核的一个陪集。
   • 让我们找一个具体的像，比如函数 $x^2$。
   • 我们想找到所有满足 $\phi(f) = x^2$ 的函数 $f$，即所有导数为 $x^2$ 的函数。
   • 这在微积分里就是求 $x^2$ 的不定积分。
   • 我们知道，$f(x) = x^3/3$ 是其中一个解，因为 $(x^3/3)' = x^2$。
   • 根据定理13.15，所有满足 $\phi(f) = x^2 = \phi(x^3/3)$ 的函数 $f$ 的集合，应该是陪集 $(x^3/3) + \operatorname{Ker}(\phi)$。
   • 代入我们算出的核 $C$（常数函数群），这个陪集就是 $(x^3/3) + C$。
   • 这表示集合 $\{x^3/3 + c \mid c \text{ 是任意常数}\}$。
5. “这看起来是不是很熟悉？”:
   • 作者的这个问题是在提醒我们，这正是我们在微积分课上学到的不定积分的写法！
   • 求 $x^2$ 的不定积分，我们写成 $\int x^2 dx = x^3/3 + C$。
   • 这里的“$+C$” (积分常数) 的深层代数含义，正是在群论中“加上一个来自核的元素”所构成的陪集。
   • 同态理论为微积分中“为什么不定积分要加一个任意常数C”提供了一个深刻的、结构化的解释。

这个推论是核最重要的应用之一，它提供了一个判断同态是否为单射（一对一）的简便方法。

推论陈述解析:

• 这是一个“当且仅当”的命题，意味着两边的条件是等价的。
• 条件A: 群同态 $\phi$ 是一个一一映射（单射，injective）。
• 条件B: $\phi$ 的核是平凡的，即 $\operatorname{Ker}(\phi)$ 只包含源群的单位元 $e$。
• 等价关系: A成立必然导致B成立，B成立也必然导致A成立。
• 意义: 想要检查一个同态是不是单射，我们不再需要去证明“若 $\phi(a)=\phi(b)$ 则 $a=b$”，只需要计算它的核，看看核里面是不是只有一个元素 $e$ 就行了。后者通常更容易操作。

证明解析:

第一部分: 证明 “如果 $\operatorname{Ker}(\phi)=\{e\}$，那么 $\phi$ 是一一映射”

• 思路: 利用定理13.15的结论。
• 步骤:

1. 假设: $\operatorname{Ker}(\phi) = H = \{e\}$。
2. 目标: 证明 $\phi$ 是一一的。即证明如果 $\phi(a)=\phi(b)$，那么必然有 $a=b$。
3. 应用定理13.15: 定理13.15告诉我们，所有映射到 $\phi(a)$ 的元素的集合是陪集 $aH$。
4. 代入假设: 在我们的情况下，$H=\{e\}$，所以陪集是 $a\{e\}$。
5. 计算陪集: $a\{e\} = \{a \cdot e\} = \{a\}$。
6. 结论: 这意味着，映射到 $\phi(a)$ 的元素的集合里只有 $a$ 这一个元素。
7. 引申: 如果现在有另一个元素 $b$ 也满足 $\phi(b)=\phi(a)$，那么 $b$ 也必须属于这个集合 $\{a\}$，所以 $b$ 只能等于 $a$。
8. 这就证明了 $\phi$ 是一一的。
   • （正文中的证明更简洁：它直接说映射到 $\phi(a)$ 的元素恰好是集合 $\{a\}$，这本身就意味着一一性。）

第二部分: 证明 “如果 $\phi$ 是一一映射，那么 $\operatorname{Ker}(\phi)=\{e\}$”

• 思路: 利用核的定义和一一映射的定义。
• 步骤:

1. 假设: $\phi$ 是一一映射。
2. 目标: 证明 $\operatorname{Ker}(\phi)=\{e\}$。即证明核里面除了 $e$ 没有其他元素。
3. 回顾已知:
   • 根据定理13.12，我们知道单位元一定在核里，因为 $\phi(e)=e'$。所以 $e \in \operatorname{Ker}(\phi)$。
   • 核的定义是 $\operatorname{Ker}(\phi) = \{x \in G \mid \phi(x)=e'\}$。
4. 利用假设: 假设有一个元素 $x \in \operatorname{Ker}(\phi)$。这意味着 $\phi(x)=e'$。
5. 我们现在有两个等式：$\phi(x)=e'$ 和 $\phi(e)=e'$。所以 $\phi(x)=\phi(e)$。
6. 因为我们假设了 $\phi$ 是一一的，所以从 $\phi(x)=\phi(e)$ 必然可以推断出 $x=e$。
7. 结论: 这表明，任何在核里的元素 $x$ 都必须等于 $e$。因此，核里只可能有一个元素，就是 $e$。
8. 所以 $\operatorname{Ker}(\phi)=\{e\}$。证明完毕。

这部分提出了一个证明两个群同构（Isomorphic）的更新版、更高效的“三步走”策略。

1. 回顾同构的定义:
   • 一个同构 $\phi: G \rightarrow G'$ 是一个满足以下三个条件的映射：
   • 条件 b 和 c 合起来就是双射 (一一对应，bijective)。
2. 旧的策略:
   • 原来的证明策略是分别独立地验证这三个条件。
   • 证明单射通常需要从 $\phi(a)=\phi(b)$ 出发，通过一系列代数操作推导出 $a=b$。
3. 新的策略 (利用推论13.18):
   • 推论13.18告诉我们，对于同态来说，“是单射”和“核是平凡的”是等价的。
   • 这给了我们一个替换步骤(b)的机会。我们可以用一个（通常是）更容易的计算来代替一个逻辑推导。
4. 新三步走策略:
   • 步骤 1: 证明 $\phi$ 是同态。
   • 这是基础，必须先做。验证 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$。
   • 步骤 2: 证明 $\operatorname{Ker}(\phi)=\{e\}$。
   • 这是新的步骤，用来代替直接证明单射。
   • 具体操作是：解方程 $\phi(x)=e'$，并证明唯一的解是 $x=e$。
   • 一旦证明了这一点，根据推论13.18，我们就自动获得了 $\phi$ 是单射的结论。
   • 步骤 3: 证明 $\phi$ 将 $G$ 满射到 $G^{\prime}$。
   • 这个步骤保持不变。
   • 需要证明对于 $G'$ 中的任意元素 $y$，都可以在 $G$ 中找到一个元素 $x$ 使得 $\phi(x)=y$。
5. 新策略的优势:
   • 在很多情况下，计算核比直接证明单射更直接、更具操作性。它把一个“如果...那么...”的逻辑证明问题，转化成了一个“解方程”的计算问题。
   • 这个策略在抽象代数的实践中被广泛使用。

这部分是对前面内容的总结，并引出了一个极其重要的概念——正规子群。

1. 回顾与总结:
   • 作者首先总结了定理13.15的一个关键推论：同态的核 $H$ 必定满足一个特殊性质，即它的任何左陪集都等于其对应的右陪集 ($gH = Hg$ for all $g \in G$)。
   • 虽然定理13.15的陈述是 $aH = \phi^{-1}[\{\phi(a)\}] = Ha$，但它的直接后果就是 $aH=Ha$。
2. 展望与铺垫 (第14节):
   • 当一个子群 $H$ 满足 $gH=Hg$ 这个条件时，它就变得非常特殊和有用。
   • 可以形成陪集群: 这个条件是构建商群（Quotient Group，也叫因子群 Factor Group）的充要条件。商群的元素就是这些陪集本身，而 $gH=Hg$ 这个条件保证了在这些陪集上定义的运算是良定义的 (well-defined)。
   • 核的再现: 当我们构建了商群 $G/H$ 后，我们会发现存在一个“自然”的同态，从 $G$ 映射到 $G/H$。而这个自然同态的核，不多不少，正好就是我们开始时用的那个子群 $H$。这形成了一个完美的闭环。
3. 引出新概念:
   • 由于这种“左右陪集重合”的子群如此重要，它们被赋予了一个特殊的名字：正规子群 (Normal Subgroup)。
4. 历史注解:
   • 伽罗瓦 (Évariste Galois):
   • 正规子群的概念最早由伽罗瓦在1831年左右的工作中引入，尽管他用的术语是“正当分解”(proper decomposition)。
   • 他的动机是为了解决一个古老的问题：什么样的多项式方程可以用根式（加减乘除开方）求解。
   • 伽罗瓦发现，这个问题的答案与方程的伽罗瓦群（根的置换群）的结构有关。
   • 如果这个群含有一系列正规子群，使得商群都是阿贝尔群（这种群后来被称为可解群 Solvable Group），那么对应的方程就是根式可解的。
   • 他的思想是将一个复杂的问题（解一个高次方程）分解成一系列更简单的问题（解与正规子群、商群对应的低次方程）。
   • 约尔当 (Camille Jordan):
   • 约尔当在几十年后，系统地整理和阐述了伽罗瓦的理论，使其为更广泛的数学界所理解。
   • 他给出了与现代定义基本相同的正规子群定义，并引入了单群（Simple Group）的概念。单群是指除了自身和平凡子群外，不包含任何其他正规子群的群，它们像是群世界里的“原子”或“素数”，无法被进一步分解。

这部分正式给出了正规子群的定义，并总结了两个重要结论。

定义 13.19: 正规子群

• 前提: $H$ 是群 $G$ 的一个子群。
• 定义: 如果对于 $G$ 中的每一个元素 $g$，子群 $H$ 关于 $g$ 的左陪集 $gH$ 都与对应的右陪集 $Hg$ 完全相等，那么 $H$ 就被称为 $G$ 的一个正规子群 (Normal Subgroup)。
• 符号: 通常用 $H \trianglelefteq G$ 表示 "$H$ 是 $G$ 的正规子群"。
• 核心条件: $\forall g \in G, gH = Hg$。
• $gH = \{gh \mid h \in H\}$
• $Hg = \{hg \mid h \in H\}$
• 这两个集合必须完全相同。

关于阿贝尔群的注解:

• 如果 $G$ 是一个阿贝尔群（交换群），那么对于任意 $g \in G$ 和 $h \in H$，我们有 $gh = hg$。
• 这意味着左陪集 $gH = \{gh \mid h \in H\} = \{hg \mid h \in H\} = Hg$。
• 所以，在阿贝尔群中，任何子群的左陪集总是等于其右陪集。
• 结论：阿贝尔群的所有子群都是正规子群。

推论 13.20: 核是正规子群

• 陈述: 任何一个群同态 $\phi: G \rightarrow G'$ 的核 $\operatorname{Ker}(\phi)$，必定是源群 $G$ 的一个正规子群。
• 证明:

1. 定理13.15的结论是：对于任意 $a \in G$，集合 $\{x \in G \mid \phi(x)=\phi(a)\}$ 既等于左陪集 $aH$（其中 $H=\operatorname{Ker}(\phi)$），也等于右陪集 $Ha$。
2. 所以，我们直接得到了 $aH = Ha$ 对于所有 $a \in G$ 都成立。
3. 根据定义13.19，这正是说 $H = \operatorname{Ker}(\phi)$ 是一个正规子群。
4. 证明完成。这是一个“水到渠成”的结论。

这部分是本节的最后总结和展望。

1. 同态的两个关键部分:
   • 作者强调，要理解一个群同态 $\phi: G \rightarrow G'$，我们需要关注两个与之相关的核心对象：
2. 核与像的角色:
   • 核 $\operatorname{Ker}(\phi)$:
   • 我们已经在本节中深入探讨了它的重要性。
   • 它告诉我们哪些信息在同态中被“丢失”或“压缩”了。
   • 它的大小衡量了同态离单射有多远。
   • 它是一个正规子群，这是构建商群的基础。
   • 像 $\phi[G]$:
   • 这是同态实际产生的结果，是 $G$ 在 $G'$ 中的一个“影子”或“投影”。
   • 这个“影子”保留了 $G$ 的部分结构（例如，如果 $G$ 是阿贝尔群，$\phi[G]$ 也是）。
   • 作者预告，下一节将揭示像的重要性。剧透一下：第一同构定理将表明，像 $\phi[G]$ 与商群 $G/\operatorname{Ker}(\phi)$ 是同构的。这建立了核、像与商群之间的“黄金三角”关系。
3. 关于像的大小的练习预告:
   • 作者提到了练习44，这是一个关于有限群同态的重要结论。
   • 结论: 如果源群 $G$ 是有限的，那么它的像 $\phi[G]$ 的大小（阶）$|\phi[G]|$ 必定是 $|G|$ 的一个因子。
   • 证明思路: 这一定理是第一同构定理 $|G/\operatorname{Ker}(\phi)| = |G|/|\operatorname{Ker}(\phi)|$ 和拉格朗日定理的直接结果。因为 $\phi[G] \simeq G/\operatorname{Ker}(\phi)$，所以 $|\phi[G]| = |G/\operatorname{Ker}(\phi)| = [G:\operatorname{Ker}(\phi)] = |G|/|\operatorname{Ker}(\phi)|$。因为 $|\phi[G]|$ 是一个整数，所以 $|\phi[G]|$ 必须是 $|G|$ 的因子。

1. 确定群和映射:
   • 源群 $G$: 整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$。单位元是 $e=0$。
   • 目标群 $G'$: 实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$。单位元是 $e'=0$。
   • 映射 $\phi$: 定义为 $\phi(n) = n$。这是一个包含映射，因为它将整数集合中的每个元素映射为实数集合中值相同的元素。
2. 验证同态性质:
   • 我们需要验证对于任意 $m, n \in \mathbb{Z}$，是否有 $\phi(m+n) = \phi(m) + \phi(n)$。
   • 计算等式左边:
   • 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(m+n)$ 就是将整数 $m+n$ 视为实数，所以 $\phi(m+n) = m+n$。
   • 计算等式右边:
   • 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(m) = m$ 且 $\phi(n) = n$。
   • 在目标群 $(\mathbb{R}, +)$ 中进行运算，$\phi(m) + \phi(n) = m + n$。
   • 比较: 左边 ($m+n$) 与右边 ($m+n$) 相等。
   • 结论: 由于同态性质对所有整数成立，所以 $\phi$ 是一个同态。

1. 确定群和映射:
   • 源群 $G$: 实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$。
   • 目标群 $G'$: 整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$。
   • 映射 $\phi$: $\phi(x) = \lfloor x \rfloor$，即取整函数 (floor function)。
2. 验证同态性质:
   • 我们需要验证对于任意 $x, y \in \mathbb{R}$，是否有 $\phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y)$。
   • 策略: 尝试找一个反例。如果能找到一对 $x, y$ 使得等式不成立，就可以断定它不是同态。
   • 寻找反例:
   • 让我们取两个小数，它们的和会跨越一个整数。例如，设 $x = 0.5, y = 0.7$。
   • 计算等式左边:
   • $x+y = 0.5 + 0.7 = 1.2$。
   • $\phi(x+y) = \phi(1.2) = \lfloor 1.2 \rfloor = 1$。
   • 计算等式右边:
   • $\phi(x) = \phi(0.5) = \lfloor 0.5 \rfloor = 0$。
   • $\phi(y) = \phi(0.7) = \lfloor 0.7 \rfloor = 0$。
   • $\phi(x) + \phi(y) = 0 + 0 = 0$。
   • 比较: 左边是 1，右边是 0。两者不相等。
   • 结论: 因为我们找到了一个反例，所以 $\phi$ 不是一个同态。
3. 使用提示中的方法:
   • 提示建议可以检查 $\phi^{-1}[\{e'\}]$ 是否为一个子群。
   • 目标群的单位元 $e'=0$。
   • 计算核（如果它是同态的话）：$\phi^{-1}[\{0\}] = \{x \in \mathbb{R} \mid \phi(x)=0\} = \{x \in \mathbb{R} \mid \lfloor x \rfloor = 0\}$。
   • 这个集合是 $[0, 1)$，即所有大于等于0且小于1的实数。
   • 我们来检查 $[0, 1)$ 是否是 $(\mathbb{R}, +)$ 的一个子群。
   • 封闭性: 取两个元素 $a=0.6, b=0.7$，它们都在 $[0, 1)$ 中。它们的和是 $a+b=1.3$。$1.3$ 不在 $[0, 1)$ 中。
   • 因为运算不封闭，所以 $[0, 1)$ 不是 $(\mathbb{R}, +)$ 的子群。
   • 根据定理13.12，如果 $\phi$ 是一个同态，那么一个子群的逆像必须是子群。在这里 $\{e'\}$ 是子群，但它的逆像不是子群。因此，$\phi$ 不可能是同态。

1. 确定群和映射:
   • 源群 $G$: 非零实数乘法群 $(\mathbb{R}^*, \times)$。
   • 目标群 $G'$: 非零实数乘法群 $(\mathbb{R}^*, \times)$。
   • 映射 $\phi$: $\phi(x) = |x|$，取绝对值。
2. 验证同态性质:
   • 我们需要验证对于任意 $x, y \in \mathbb{R}^*$，是否有 $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$。
   • 计算等式左边:
   • 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(xy) = |xy|$。
   • 计算等式右边:
   • 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(x) = |x|$ 且 $\phi(y) = |y|$。
   • 在目标群 $(\mathbb{R}^*, \times)$ 中进行运算，$\phi(x)\phi(y) = |x| \cdot |y|$。
   • 比较:
   • 根据绝对值的基本性质，我们知道对于任意实数 $x, y$，都有 $|xy| = |x||y|$。
   • 因此，左边和右边是相等的。
   • 结论: $\phi$ 是一个同态。

1. 确定群和映射:
   • 源群 $G$: 模6加法群 $(\mathbb{Z}_6, +_6) = \{0,1,2,3,4,5\}$。
   • 目标群 $G'$: 模2加法群 $(\mathbb{Z}_2, +_2) = \{0,1\}$。
   • 映射 $\phi$: $\phi(x) = x \pmod 2$。
2. 验证同态性质:
   • 我们需要验证对于任意 $a, b \in \mathbb{Z}_6$，是否有 $\phi(a +_6 b) = \phi(a) +_2 \phi(b)$。
   • 这里的 $a+_6 b$ 是 $(a+b) \pmod 6$。
   • 策略: 我们可以尝试举一个反例。
   • 寻找反例:
   • 设 $a=3, b=5$。它们都在 $\mathbb{Z}_6$ 中。
   • 计算等式左边:
   • 先在 $\mathbb{Z}_6$ 中运算: $a +_6 b = 3 +_6 5 = 8 \pmod 6 = 2$。
   • 应用映射 $\phi$: $\phi(2) = 2 \pmod 2 = 0$。
   • 所以左边等于 0。
   • 计算等式右边:
   • 先应用映射 $\phi$: $\phi(a) = \phi(3) = 3 \pmod 2 = 1$。$\phi(b) = \phi(5) = 5 \pmod 2 = 1$。
   • 在 $\mathbb{Z}_2$ 中运算: $\phi(a) +_2 \phi(b) = 1 +_2 1 = 0$。
   • 所以右边等于 0。
   • 比较: 在这个例子中 $0=0$，等式成立。看来这个映射可能是同态。我们需要一个普适的证明，而不是举例。
3. 进行普适证明:
   • 设任意 $a, b \in \mathbb{Z}_6$。
   • 令 $c = a +_6 b = (a+b) \pmod 6$。这意味着 $a+b = 6k + c$ 对于某个整数 $k$。
   • 左边是 $\phi(c) = c \pmod 2 = ((a+b) \pmod 6) \pmod 2$。
   • 右边是 $\phi(a) +_2 \phi(b) = (a \pmod 2) +_2 (b \pmod 2)$。根据模运算的性质，这等于 $(a+b) \pmod 2$。
   • 现在问题转化为：是否对于任意整数 $a,b$，都有 $((a+b) \pmod 6) \pmod 2 = (a+b) \pmod 2$？
   • 是的。因为 $N \pmod 2$ 只取决于 $N$ 的奇偶性。而 $(a+b) \pmod 6$ 与 $(a+b)$ 的差是 6 的倍数，即偶数。一个数加上或减去一个偶数，其自身的奇偶性不变。
   • 严格证明: 设 $X = a+b$。设 $X \pmod 6 = r$, 则 $X=6k+r$。那么 $r \pmod 2 = (X-6k) \pmod 2 = X \pmod 2$ (因为 $6k$ 是偶数，不影响模2的余数)。而 $X \pmod 2 = (a+b) \pmod 2$。所以等式成立。
   • 结论: $\phi$ 是一个同态。

1. 确定群和映射:
   • 源群 $G$: $(\mathbb{Z}_9, +_9)$。
   • 目标群 $G'$: $(\mathbb{Z}_2, +_2)$。
   • 映射 $\phi$: $\phi(x) = x \pmod 2$ for $x \in \mathbb{Z}_9$。
2. 验证同态性质:
   • 我们需要验证 $\phi(a +_9 b) = \phi(a) +_2 \phi(b)$。
   • 策略: 尝试找一个反例。
   • 寻找反例:
   • 设 $a=4, b=5$。它们都在 $\mathbb{Z}_9$ 中。
   • 计算等式左边:
   • 先在 $\mathbb{Z}_9$ 中运算: $a +_9 b = 4 +_9 5 = 9 \pmod 9 = 0$。
   • 应用映射 $\phi$: $\phi(0) = 0 \pmod 2 = 0$。
   • 所以左边等于 0。
   • 计算等式右边:
   • 先应用映射 $\phi$: $\phi(a) = \phi(4) = 4 \pmod 2 = 0$。$\phi(b) = \phi(5) = 5 \pmod 2 = 1$。
   • 在 $\mathbb{Z}_2$ 中运算: $\phi(a) +_2 \phi(b) = 0 +_2 1 = 1$。
   • 所以右边等于 1。
   • 比较: 左边是 0，右边是 1。两者不相等。
   • 结论: 因为我们找到了一个反例，所以 $\phi$ 不是一个同态。
3. 深入分析原因:
   • 问题出在哪里？在练习4中，从 $\mathbb{Z}_6$ 出发是同态，为什么从 $\mathbb{Z}_9$ 出发就不是了？
   • 在练习4中，我们依赖于性质 $((a+b) \pmod 6) \pmod 2 = (a+b) \pmod 2$。
   • 在练习5中，我们需要验证的性质是 $((a+b) \pmod 9) \pmod 2 = (a+b) \pmod 2$。
   • 这个性质不成立！因为一个数与它模9的余数的差是9的倍数，而9是奇数。一个数减去一个奇数，它的奇偶性会改变。
   • 例子: $a+b=10$。$(a+b) \pmod 2 = 0$。但是 $(a+b) \pmod 9 = 1$。而 $1 \pmod 2 = 1$。 $1 \neq 0$。
   • 根本原因: 映射 $\phi$ 本身没有被“良定义”为一个同态。从 $\mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{Z}_k$ 的模约化映射 $\phi(x)=x \pmod k$ 是一个同态，当且仅当 $k$ 是 $n$ 的因子。在这里，2不是9的因子。

1. 确定群和映射:
   • 源群 $G$: 实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$。单位元 $e=0$。
   • 目标群 $G'$: 非零实数乘法群 $(\mathbb{R}^*, \times)$。单位元 $e'=1$。
   • 映射 $\phi$: $\phi(x) = 2^x$。这是一个指数函数。
2. 验证同态性质:
   • 由于群的运算不同，我们需要验证的形式是 $\phi(x+y) = \phi(x) \cdot \phi(y)$。
   • 计算等式左边:
   • 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(x+y) = 2^{x+y}$。
   • 计算等式右边:
   • 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(x) = 2^x$ 且 $\phi(y) = 2^y$。
   • 在目标群 $(\mathbb{R}^*, \times)$ 中运算, $\phi(x)\phi(y) = 2^x \cdot 2^y$。
   • 比较:
   • 根据指数运算法则，$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$。所以 $2^{x+y} = 2^x \cdot 2^y$。
   • 左边和右边是相等的。
   • 结论: $\phi(x)=2^x$ 是一个同态。

1. 确定群和映射:
   • 源群 $G$: 第 $i$ 个分量群 $G_i$。
   • 目标群 $G'$: $r$ 个群的直积 $G_{1} \times G_{2} \times \cdots \times G_{r}$。
   • 映射 $\phi_i$: 它接收一个来自 $G_i$ 的元素 $g_i$，然后把它“嵌入”到直积群的一个特定位置。这个映射的结果是一个元组，其中第 $i$ 个分量是 $g_i$ 本身，所有其他分量都是对应群的单位元 $e_j$。这个映射通常被称为内射 (Injection) 或典范嵌入 (Canonical Embedding)。
2. 与示例 13.8 比较:
   • 示例 13.8 (在正文中是第二个例子) 讨论的是投影映射 $\pi_i: G_1 \times \cdots \times G_r \rightarrow G_i$。
   • 这个练习中的 $\phi_i$ 恰好是投影映射的反方向操作：投影是“从元组中提取一部分”，而内射是“用一部分构建一个元组”。
3. 验证同态性质:
   • 设 $a_i, b_i \in G_i$ 是源群中的两个元素。我们需要验证 $\phi_i(a_i b_i) = \phi_i(a_i) \phi_i(b_i)$。
   • 注意，左边的 $a_i b_i$ 是在 $G_i$ 中的运算。右边是直积群中的运算（逐分量运算）。
   • 计算等式左边:
   • 根据 $\phi_i$ 的定义，$\phi_i(a_i b_i) = (e_1, \ldots, a_i b_i, \ldots, e_r)$。
   • 计算等式右边:
   • 先应用映射: $\phi_i(a_i) = (e_1, \ldots, a_i, \ldots, e_r)$ 和 $\phi_i(b_i) = (e_1, \ldots, b_i, \ldots, e_r)$。
   • 在直积群中运算（逐分量相乘）:
   • 比较: 左边和右边完全相同。
   • 结论: $\phi_i$ 是一个同态。
4. 这是一个内射映射:
   • “内射”是单射 (injective, one-to-one) 的同义词。
   • 我们可以用推论13.18来证明。计算核：
   • 目标群的单位元是 $(e_1, e_2, \ldots, e_r)$。
   • $\operatorname{Ker}(\phi_i) = \{g_i \in G_i \mid \phi_i(g_i) = (e_1, \ldots, e_r)\}$。
   • $\phi_i(g_i) = (e_1, \ldots, g_i, \ldots, e_r)$。
   • 令两者相等，我们得到 $g_i$ 必须等于 $G_i$ 的单位元 $e_i$。
   • 所以 $\operatorname{Ker}(\phi_i) = \{e_i\}$，核是平凡的。
   • 因此，这个同态是单射的。

1. 确定群和映射:
   • 源群和目标群都是同一个任意群 $G$。
   • 映射 $\phi$ 是求逆映射，$\phi(g)=g^{-1}$。
2. 验证同态性质:
   • 我们需要验证对于任意 $a, b \in G$，是否有 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$。
   • 计算等式左边:
   • 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(ab) = (ab)^{-1}$。
   • 根据群的性质，$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ (注意顺序反转！)。
   • 计算等式右边:
   • 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(a)=a^{-1}$ 且 $\phi(b)=b^{-1}$。
   • 在群 $G$ 中运算，$\phi(a)\phi(b) = a^{-1}b^{-1}$。
   • 比较:
   • 左边是 $b^{-1}a^{-1}$。
   • 右边是 $a^{-1}b^{-1}$。
   • 这两个表达式何时相等？当且仅当 $b^{-1}a^{-1} = a^{-1}b^{-1}$ 对于所有 $a, b \in G$ 都成立。
   • 令 $x=a^{-1}, y=b^{-1}$。因为 $a,b$ 可以取遍 $G$ 中所有元素，所以 $x,y$ 也可以。这个条件等价于 $yx=xy$ 对于所有 $x, y \in G$ 都成立。
   • 这正是阿贝尔群（交换群）的定义。
3. 结论:
   • 求逆映射 $\phi(g)=g^{-1}$ 是一个同态，当且仅当群 $G$ 是一个阿贝尔群。
   • 对于非阿贝尔群（如 $S_3$），它不是一个同态。